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Automatique : Dynamique et contrôle des systèmes

Sigle: C1422, ECTS: 2

Objectifs du cours

Le but est de présenter les notions et outils fondamentaux nécessaires à l'analyse et au contrôle des systèmes. Ce cours est articulé autour des trois thèmes suivants :

  • Systèmes dynamiques : stabilité, robustesse, théorie de perturbations.
  • Commandabilité : stabilisation par bouclage, planification et suivi de trajectoire.
  • Observabilité : estimation, observateur asymptotique, filtrage et diagnostic.
Le cours part de quelques exemples issus du monde industriel ou académique. Chaque exemple motive et justifie les définitions et résultats abstraits sur lesquels reposent une classe d'algorithmes de contrôle et/ou d'estimation. Dans bien des domaines scientifiques, une théorie a très souvent pour origine une petite collection d'exemples bien compris et analysés. Nous nous inscrivons dans cette démarche. Une approche qui part du particulier pour aller vers le général permet aussi de mieux comprendre les ressorts fondamentaux sur lesquels reposent certains résultats mais aussi de bien cerner leur limitations. L'Automatique est un domaine actif de recherche. Le cours abordera certaines questions qui n'admettent pas de réponse claire aujourd'hui bien qu'elles aient de fortes motivations pratiques.

Programme

Le cours sera composé pour moitié (environ) d'amphis et pour moitié de petites classes dont 3 en salle informatique et utilisant le logiciel libre Scilab/Scicos.

Modalités d'évaluation

L'évaluation sera assurée par un examen écrit. La note finale tiendra également compte du travail effectué en mini-projet. Ce mini-projet, réalisé en monôme ou en binôme, sera l'occasion pour les élèves de mettre la main à la pâte sur un cas concret en effectuant une étude en simulation avec Scilab/Scicos.

Modalités pédagogiques

Certains résultats classiques sur les équations différentielles et les systèmes dynamiques sont illustrés par un système thermique non linéaire du premier ordre contrôlé avec un régulateur proportionnel intégral (PI) avec prise en compte des saturations sur l'actionneur (anti-windup). Cet exemple reprenant le régulateur PI est représentatif de l'immense majorité des régulateurs industriels. Son analyse détaillée et non linéaire requiert les résultats et/ou notions suivants : stabilité au sens de Lyapounov d'un point d'équilibre ; linéaire tangent et valeurs propres ; fonction de Lyapounov et principe d'invariance de LaSalle ; théorème de Poincaré-Bendixon pour les systèmes dynamiques autonomes dans le plan ; échelles de temps multiples, théorie des perturbations, systèmes lents/rapides, forme normale de Tikhonov, réduction de modèle, robustesse et dynamiques négligées.
Un autre exemple emprunté à la physique illustre l'approche fréquentielle entrée/sortie par fonctions de transfert et calcul symbolique avec la variable de Laplaces. Cette approche est limitée au cas des systèmes linéaires stationnaires. Elle est cependant fondamentale pour quantifier les performances et analyser la robustesse. Les points suivants sont abordés en se limitant au cas mono-variable (un seul contrôle scalaire): schémas blocs ; diagramme de Bode pour la quantification des performances ; critère de Nyquist pour l'analyse de la robustesse avec les marges de gains, de phase et de retard ; les pôles dominants et la théorie des perturbations ; les zéros et le rejet de perturbations; les systèmes à non minimum de phase ; la prise en compte d'un retard pur ; forme d'état associée à un transfert rationnel.
Les systèmes multi-variables sont abordés via la cinématique d'un robot mobile sur roue et l'approche par modèle d'état. Cet exemple illustre naturellement la conmandabilité et les questions de planification de trajectoires. Les liens avec la stabilisation par feedback et le suivi de trajectoire seront aussi traités. A partir du linéaire tangent autour de la trajectoire rectiligne à vitesse uniforme, on aborde le cas des systèmes linéaires stationnaires avec le critère de Kalman. Pour de tels systèmes, plusieurs types de solutions systématiques existent pour la stabilisation, la planification et le suivi de trajectoires par feedback. Nous traitons en détails le type de solution qui s'appuie sur la forme normale de Brunovsky. Nous évoquons de manière plus succincte celui qui repose sur la commande linéaire quadratique.
Les algorithmes de stabilisation et de suivi par retour d'état nécessitent la connaissance à chaque instant de toutes les variables d'état caractérisant le système. En général, le nombre de capteurs étant limité, on ne mesure qu'une partie de ces variables. La reconstruction en temps réel de l'autre partie est un problème d'estimation et d'observation. Pour les systèmes linéaires stationnaires, des réponses systématiques existent. Elles s'appuient sur la notion d'observabilité. Nous en présentons de deux types : les observateurs asymptotiques de Luenberger qui admettent dans certains cas des prolongements en non linéaire via l'injection de sortie, le filtre de Kalman qui peut être vu comme un observateur asymptotique particulier avec réglage optimal des gains. Pour les systèmes linéaires stationnaires, il est alors possible d'utiliser les états estimés dans le feedback (principe de séparation). Enfin, le lien entre avec les problèmes d'estimation de paramètres et de diagnostic est aussi abordé.

Equipe pédagogique

Responsable(s)
Nicolas PETIT

Chargé(s) d'enseignement
Jean AURIOLDelphine BRESCH-PIETRIJean-Philippe CHANCELIER
Charles-Henri CLERGETFlorent DI MEGLIOThomas LEROY

Intervenant(s)
Aurélien FIOT
Sigle C1422
Année 1ère année
Niveau Undergraduate
Crédits ECTS 2
Coefficient 2
Nb. d'heures 27
Nb. de séances 22
Type de cours Tronc Commun
Semestre 2
Période Printemps
Domaines
  • Mathématiques appliquées et calcul
Dernière mise à jour:
09 Mar 2017 13:24 par valerie