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Cryptographie et théorie des nombres

Sigle: S1225, ECTS: 2

Objectifs du cours

La première partie est une introduction à la cryptographie moderne et ses liens avec la théorie des nombres et la complexité. Après une description opératoire du système RSA, le système à clé publique le plus utilisé, nous présentons ses points caractéristiques : difficulté de factorisation, primalité, fonction à sens unique. L'étude et la compréhension de ces divers points nécessitent la connaissance de certains résultats et notions en théorie des nombres (densité et caractérisation des nombres premiers, exponentielle modulaire,...) et en complexité (classes P, NP, RP,...). La seconde partie sera une introduction à la cryptographie quantique précédée de quelques rappels de mécanique quantique. Dans la présentation nous mettrons surtout l'accent sur les motivations pratiques et fondamentales des notions et concepts présentés. A chaque fois nous partirons d'exemples précis. Les démonstrations ne seront introduites que pour leur aspect pédagogique. Les développements abstraits seront réduits au strict nécessaire.
Evolution du cours :
Il s'agit de la nouvelle version de l'ES intitulé "mathématiques discrètes" qui vient de changer de nom et aussi en partie de contenu. Suites aux commentaires des élèves, les modifications suivantes ont été apportées pour le cours d'automne 2008 :

  • On abandonne la partie systèmes dynamiques pour se recentrer sur la cryptographie avec un seul enseignant.
  • Cela dégage de la place pour présenter de façon plus détaillée la cryptographie quantique avec les rappels nécessaires de mécaniques quantiques (définition et manipulation de qubits).
  • Cela donne aussi du temps pour rajouter des TD.

Pré-requis

-

Programme

Le programme modifié :

  • Cryptographie et complexité : exponentielle modulaire et protocole de Diffie-Hellman, signature et DSS, systèmes RSA, test de primalité de Miller-Rabin et les classes de complexité P, RP, et NP.
  • Théorie des nombres: rappel d'arithmétique (pgcd, fonction d'Euler, petit théorème de Fermat, théorème chinois, élément primitif et théorème de Lucas), fonction génératrice, fonction zéta et produit Eulerien répartition de nombres premiers et théorème de la progression arithmétique.
  • Cryptographie quantique: rappel de mécanique quantique (systèmes à n états, n-qubits, mesure et collapse du paquet d'onde, inégalité de Bell et intrication), le protocole BB84, la télé-portation et le codage dense.

Modalités d'évaluation

Le contrôle des connaissances repose sur un examen écrit de deux heures qui reprend les exemples traités en travaux dirigés.

Equipe pédagogique

Responsable(s)
Pierre ROUCHON

Chargé(s) d'enseignement

Sigle S1225
Année 3ème année
Niveau Graduate 2nd year
Crédits ECTS 2
Coefficient 2
Nb. d'heures 22
Nb. de séances 18
Type de cours Enseignement spécialisé
Semestre 5
Période Automne
Domaines
  • Mathématiques
  • Informatique
Dernière mise à jour:
11 Dec 2010 22:14 par DanielL