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Problèmes inverses

Sigle: S1923, ECTS: 2

Objectifs du cours

Un problème inverse consiste à vouloir déterminer l'état interne d'un système, à partir d'observations, connaissant la structure du système. Il s'oppose au "problème direct", plus habituel. Les problèmes inverses sont omniprésents en science et en ingénierie, par exemple dès que l'on cherche des informations sur un système sans pouvoir les mesurer directement.

Des exemples sont fournis par toutes les techniques d'imagerie médicale, mas sont aussi abondants dans les sciences de la terre (sismique pétrolière), l'astronomie (restauration d'images bruitées), la finance (calibration de volatilité). Les problèmes inverses manifestent le plus souvent un caractère instable, lié au fait que des causes multiples peuvent produire les mêmes effets.

Le but de ce cours est d'abord de présenter sur divers exemples l'origine des problèmes inverses, de mettre en évidence leur instabilité, de présenter des méthodes pour analyser ces problèmes, et donner quelques outils pour obtenir des solutions, et en évaluer la qualité.
Le cours montrera ce qu'est une méthode de régularisation, et comment l'utiliser, en mettant en évidence le compromis fondamental entre stabilité et précision. Il introduira également quelques outils numériques permettant d'analyser un problème inverse: la  décomposition en valeurs singulières, et la méthode de l'état adjoint.

Des travaux pratiques permettront d'illustrer ces concepts sur des exemples.

Pré-requis

Algèbre linéaire, calcul différentiel,

Programme


  • Introduction: origine des problèmes inverses, exemples (équations intégrales)
  • Modèles linéaires: moindres carrés, décomposition en valeurs singulières
  • Régularisation: méthode de Tikhonov, stratégies à priori et à posteriori
  • Statistiques: régression, estimation Bayésienne
  • Modèles non-linéaires: paramètre. état, observation, lien avec l'optimisation
  • État adjoint: calcul de gradient, équations différentielles, paramétrisation
  • Mini-projet
Chaque demi-journée comportera 2 séances de cours, et une séance de PC ou de TP.

Modalités d'évaluation

Mini-projet

Modalités pédagogiques

Le cours est composé de 21 séances, réparties sur 7 demi-journées. Chaque demi-journée comporte deux séances de cours, et une séance de petite classe, ou de travaux pratiques. La dernière séance est consacrée au mini-projet.

Equipe pédagogique

Responsable(s)
Michel KERN

Chargé(s) d'enseignement
Elyes AHMED

Sigle S1923
Année 2ème année
Niveau Graduate 1st year
Crédits ECTS 2
Coefficient 2
Nb. d'heures 26
Nb. de séances 21
Type de cours Enseignement spécialisé
Semestre 3
Période Automne
Domaines
  • Mathématiques appliquées et calcul
Dernière mise à jour:
20 Jun 2017 10:25 par julien